一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记

曾经某个下午我以为我会了FWT，结果现在一丁点也想不起来了……看来“学”完新东西不经常做题不写博客，就白学了 = =

我没啥智商 ，网上的FWT博客我大多看不懂，下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的，所以像我一样的没智商选手应该也能看懂！有智商选手更能看懂咯！

（写得非常匆忙，如有任何错误请在评论区指正！TAT）

什么是FWT

FWT是用来快速做位运算卷积的。位运算卷积是什么？给出两个数组\(A\)和\(B\)（长度相等且是2的整数次幂），求一个数组\(C\)，满足\(A * B = C\)，这个“\(*\)”的定义如下：\[A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\] 其中“\(\oplus\)”是一种位运算，可以是与(&)、或(|)、异或(^)。

为什么要有一个变换呢？回想一下FFT，FFT求\(A*B\)时（这个“\(*\)”是多项式乘法那个卷积），是把\(A\)和\(B\)各自“变换”了一下，然后把变换后的数组按位相乘，得到“变换后的\(C\)”——\(tf(C)\)，然后把\(tf(C)\)逆变换回去，得到\(C\)数组。

FWT做位运算卷积的原理也类似，想要实现快速位运算卷积，就要找到一种变换\(tf\)满足\(tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)\)，这里的“\(\times\)”表示两个数组按位相乘（和那个表示卷积的“\(*\)”不是一个符号）。

再强调一下本文中符号的定义，在下文中：

\[A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\]

\[A \times B = C \Leftrightarrow C_i = A_i \cdot B_i\]

用FWT解决或卷积

或卷积，就是把\(A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j\)中的“\(\oplus\)”定义为按位或运算(|)。我们的目标是找到一种变换\(tf\)满足\(tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)\)，还要找到一种逆变换\(utf\)，能把\(tf(C)\)变回\(C\)。

目标

• 找到\(tf\)
• 找到\(utf\)

找到\(tf\)

这是位运算，所以应该按位分治。

根据下标在最高位是0还是1，把\(A\)数组拆成两个数组\(A_0\)和\(A_1\)，\(A_0\)是\(A\)中下标最高位是0的元素组成的数组，\(A_1\)是\(A\)中下标最高位是1的元素组成的数组——实际上，\(A_0\)就是\(A\)的前一半，\(A_1\)是\(A\)的后一半。用\(A = (A_0, A_1)\)表示这种“等式右边两个数组首尾相接就能得到等式左边的数组”的关系。

定义\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]

当\(A\)长度为1，无法再划分时，\(tf(A) = A\)。

对了，显然\(tf(X + Y) = tf(X) + tf(Y)\)，这里“\(+\)”就是按位相加。

（这个\(tf\)是怎么找到的？讲了讲……但是即使我知道了如何找到或卷积的\(tf\)，异或卷积的我还是找不出来……还是甩出这个式子然后证明它吧。）

来证明一下\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)。

当\(A, B\)长度均为1时显然。

当\(A, B\)长度大于1时 ，我们使用归纳法——可以假定“长度除以2后\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)是成立的”，即\[tf(A_0*B_0) = tf(A_0) \times tf(B_0)\\tf(A_1 * B_1) = tf(A_1) \times tf(B_1)\\tf(A_0 * B_1) = tf(A_0) \times tf(B_1)\\tf(A_1 * B_0) = tf(A_1) \times tf(B_0)\]如果我们在这四个条件的基础上能证明\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)，则这四个条件递归证明即可，递归到长度为1时，就直接证毕了。

那么如何证明当前这一层\(tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)\)呢？

首先，\[C=(A_0 * B_0, A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1)\]。这是可以理解的：在\(A\)中最高位是0的一个下标，和在\(B\)中最高位是0的一个下标，或起来还是0，所以他俩卷积的结果应该放在\(C_0\)中，其余三项同理。

然后从等式左边推一下，\[\begin{align*}tf(C) &= (tf(A_0 * B_0), tf(A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0))\\&=(tf(A_0*B_0), tf(A_1*B_0) + tf(A_0*B_1) + tf(A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0)) \\ &= (tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1) + tf(A_0)\times tf(B_0))\end{align*}\]

这一步是基于\(tf\)的定义以及上面的那四个条件的。

然后从等式右边推一下，\[\begin{align*}tf(A) \times tf(B) &= (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0)) \times (tf(B_0), tf(B_1) + tf(B_0)))\\&=(tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_0)\times tf(B_0) + tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1))\end{align*}\]

这一步是基于“\(\times\)”符号的意义——按位相乘得出来的。

这样一来，等式两边恰好相等诶！

所以我们已经找到了或卷积的\(tf\)：\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]

找到\(utf\)

目标：找到一个\(utf\)使得\(utf(tf(A)) = A\)。

这相当于把上面那个式子倒着推，怎么个倒推法呢？

正着推是已知\(A = (A_0, A_1)\)，求\(tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)\)。

倒着推就是已知\(tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)\)，求\(utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)))\)。

那么根据上面的\(tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\)，有\(tf(A)_0 = tf(A_0), tf(A)_1 = tf(A_0) + tf(A_1)\)。

所以直接得到\(tf(A_0) = tf(A)_0\), 两式相减又得到\(tf(A_1) = tf(A)_1 - tf(A)_0\)。

所以\(utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)) = (utf(tf(A)_0), utf(tf(A)_1 - tf(A)_0))\)

将\(tf(A)\)替换成\(A\)，得到\(utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\)

这就是逆变换\(utf\)了。

总结

或卷积的FWT：

\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))\]

\[utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))\]

用FWT解决与卷积

与卷积和或卷积非常类似。

有\(C = (A_0*B_0 + A_0*B_1 + A_1 *B_0, A_1*B_1)\)

定义\[tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_1))\]

类似上面或卷积的证明过程可以证明它。

类似地，\[utf(A) = (utf(A_0) - utf(A_1), utf(A_1))\]

用FWT解决异或卷积

和上面的也很类似，但是异或卷积的式子更复杂一丁点。它是：

\[tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_0) - tf(A_1))\]

\[utf(A) = (\frac{utf(A_0) + utf(A_1)}{2}, \frac{utf(A_0) - utf(A_1)}{2})\]

证明嘛……和上面的或卷积证明也差不多！

板子

我的异或卷积板子：

ll inc(ll x, ll y){return (x += y) >= P ? x - P : x;}ll dec(ll x, ll y){return (x -= y) < 0 ? x + P : x;}void transform(ll *a, int n, bool inv){    for(int l = 2; l <= n; l <<= 1){    int m = l >> 1;    for(ll *p = a; p != a + n; p += l)        for(int i = 0; i < m; i++){        ll t = p[i + m];        p[i + m] = dec(p[i], t);        p[i] = inc(p[i], t);        }    if(inv)        for(int i = 0; i < n; i++)        a[i] = a[i] * inv2 % P;    }}

异或已经是写起来最长的啦，其他两个都特别短～